الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $10$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $- 8$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

وسّع $(2 - λ) (3 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (4 - λ) (2 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (4 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (4 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.1

اضرب $2$ في $3$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.2.2

اطرح $3 λ$ من $- 2 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.1.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - 2) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.2

اطرح $2$ من $6$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- 5 λ + λ^{2} + 4) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.3

أعِد ترتيب $- 5 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (1 (3 - λ) - (- 1 \cdot 1)) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

اضرب $3 - λ$ في $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ - (- 1 \cdot 1)) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ - - 1) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ + 1) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.2

أضف $3$ و $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (1 \cdot 2 - - (2 - λ))$

خطوة 1.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - - (2 - λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 1 \cdot 2 - - λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 - - λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- - λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 + 1 λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.4.2

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 + λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - - 2 - λ)$

خطوة 1.5.4.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 + 2 - λ)$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (4 - λ)$

خطوة 1.5.4.2.3

أعِد ترتيب $4$ و $- λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.1

وسّع $(4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 5 λ) + 4 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.2.1

اضرب $- 5$ في $4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 4 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.2.2

اضرب $4$ في $4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.2.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.2.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.2.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.2.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.2.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.2.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.2.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.2.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ^{2} - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.2.6

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} + 5 λ^{2} - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.2.7

اضرب $4$ في $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} + 5 λ^{2} - 4 λ - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.3

أضف $4 λ^{2}$ و $5 λ^{2}$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 4 λ - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.4

اطرح $4 λ$ من $- 20 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} - 10 (- λ) - 10 \cdot 4 - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.6

اضرب $- 1$ في $- 10$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 10 \cdot 4 - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.7

اضرب $- 10$ في $4$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 - 8 (- λ + 4)$

خطوة 1.5.5.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 - 8 (- λ) - 8 \cdot 4$

خطوة 1.5.5.1.9

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 + 8 λ - 8 \cdot 4$

خطوة 1.5.5.1.10

اضرب $- 8$ في $4$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 + 8 λ - 32$

خطوة 1.5.5.2

أضف $- 24 λ$ و $10 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 14 λ + 16 - λ^{3} - 40 + 8 λ - 32$

خطوة 1.5.5.3

أضف $- 14 λ$ و $8 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ + 16 - λ^{3} - 40 - 32$

خطوة 1.5.5.4

اطرح $40$ من $16$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 24 - 32$

خطوة 1.5.5.5

اطرح $32$ من $- 24$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 56$

خطوة 1.5.5.6

انقُل $- 6 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - λ^{3} - 6 λ - 56$

خطوة 1.5.5.7

أعِد ترتيب $9 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

حلّل $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

$q = \pm 1$

خطوة 1.7.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

خطوة 1.7.1.1.3

عوّض بـ $- 2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.3.1

عوّض بـ $- 2$ في متعدد الحدود.

$- {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

خطوة 1.7.1.1.3.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- - 8 + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

خطوة 1.7.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$8 + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

خطوة 1.7.1.1.3.4

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$8 + 9 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 - 56$

خطوة 1.7.1.1.3.5

اضرب $9$ في $4$ .

$8 + 36 - 6 \cdot - 2 - 56$

خطوة 1.7.1.1.3.6

أضف $8$ و $36$ .

$44 - 6 \cdot - 2 - 56$

خطوة 1.7.1.1.3.7

اضرب $- 6$ في $- 2$ .

$44 + 12 - 56$

خطوة 1.7.1.1.3.8

أضف $44$ و $12$ .

$56 - 56$

خطوة 1.7.1.1.3.9

اطرح $56$ من $56$ .

$0$

خطوة 1.7.1.1.4

بما أن $- 2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ + 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56}{λ + 2}$

خطوة 1.7.1.1.5

اقسِم $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ على $λ + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$9 λ^{2}$

$6 λ$

$56$

خطوة 1.7.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$

خطوة 1.7.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- λ^{3} - 2 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $11 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$22 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $11 λ^{2} + 22 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$

خطوة 1.7.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 28 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$

خطوة 1.7.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							-	$28 λ$	-	$56$

خطوة 1.7.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 28 λ - 56$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							+	$28 λ$	+	$56$

خطوة 1.7.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							+	$28 λ$	+	$56$
										$0$

خطوة 1.7.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

خطوة 1.7.1.1.6

اكتب $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

خطوة 1.7.1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ ومجموعهما $b = 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $11$ من $11 λ$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

خطوة 1.7.1.2.1.1.2

أعِد كتابة $11$ في صورة $4$ زائد $7$

$(λ + 2) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

خطوة 1.7.1.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

خطوة 1.7.1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(λ + 2) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

خطوة 1.7.1.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(λ + 2) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

خطوة 1.7.1.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- λ + 4$ .

$(λ + 2) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

خطوة 1.7.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(λ + 2) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ + 2 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة $λ + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة $λ + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ + 2 = 0$

خطوة 1.7.3.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$λ = - 2$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة $- λ + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة $- λ + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- λ + 4 = 0$

خطوة 1.7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في $- λ + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- λ = - 4$

خطوة 1.7.4.2.2

اقسِم كل حد في $- λ = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- λ = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.7.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.7.4.2.2.2.2

اقسِم $λ$ على $1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 1.7.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$λ = 4$

خطوة 1.7.5

عيّن قيمة العبارة $λ - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

عيّن قيمة $λ - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 7 = 0$

خطوة 1.7.5.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 7$

خطوة 1.7.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(λ + 2) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ صحيحة.

$λ = - 2, 4, 7$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $2$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.7

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.8

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.9

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 4 + 2 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أضف $4$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.2

أضف $10$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3

أضف $- 8$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.5

أضف $2$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.7

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.8

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.9

أضف $3$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 & 5 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{10}{6} & \frac{- 8}{6} & \frac{0}{6} \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 4 - \frac{5}{3} & 1 + \frac{4}{3} & 0 - 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{5}{3} & 5 - \frac{4}{3} & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ \frac{3}{7} \cdot 0 & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{11}{3} \cdot 0 & \frac{11}{3} - \frac{11}{3} \cdot 1 & \frac{11}{3} - \frac{11}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{11}{3} \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & - \frac{4}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 3 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 z \\ - z \\ z \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 4$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.6

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.7

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.8

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.9

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 4 - 4 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $4$ من $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

أضف $10$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

أضف $- 8$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

اطرح $4$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - 4 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

اطرح $4$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 2 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ \frac{0}{10} & \frac{10}{10} & \frac{- 8}{10} & \frac{0}{10} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{4}{5}) & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3}{5} z = 0$

$y - \frac{4}{5} z = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 z}{5} \\ \frac{4 z}{5} \\ z \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- 7$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

اضرب $- 7$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.2

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.3

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.4

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.5

اضرب $- 7$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.6

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.7

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.8

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.9

اضرب $- 7$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

خطوة 5.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 4 - 7 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

خطوة 5.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اطرح $7$ من $4$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.2

أضف $10$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.3

أضف $- 8$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.5

اطرح $7$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.7

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.8

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - 7 \end{array}]$

خطوة 5.2.3.9

اطرح $7$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 & - 4 \end{array}]$

خطوة 5.3

Find the null space when $λ = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 10 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 1 - 1 & - 5 + \frac{10}{3} & 1 - \frac{8}{3} & 0 - 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - \frac{10}{3} & - 4 + \frac{8}{3} & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} (- \frac{5}{3}) & - \frac{3}{5} (- \frac{5}{3}) & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{10}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{10}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{10}{3} \cdot 0 & - \frac{10}{3} + \frac{10}{3} \cdot 1 & \frac{8}{3} + \frac{10}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{10}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 6 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

خطوة 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 z \\ - z \\ z \end{array}]$

خطوة 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$